Rodáka z Uherského Hradiště přivedl v pěti letech na místní zimní stadión do přípravky jeho otec. Prošel tam všemi žákovskými kategoriemi a ve čtrnácti letech odešel na střední průmyslovou školu do Jihlavy a zároveň do tréninkového střediska mládeže. Na Vysočině také Radim Bičánek poprvé okusil mužskou extraligu. Stihl v ní ale sehrát pouze jednu sezónu, konkrétně 43 zápasů v letech 1992-93. V roce 1993 se spolu s Davidem Výborným objevil hned na dvou vrcholných mezinárodních akcích, nejprve na Mistrovství světa hráčů do 20 let a později na evropském šampionátu hráčů do 18 let. Na obou turnajích získal český tým bronzové medaile, na "osmnáctkách" byl navíc vyhlášen nejlepším obráncem turnaje.

To probudilo zájem zámořských skautů a Radim se po draftu, kdy si jej ve 2. kole vybrala Ottawa jako 27. celkově, stěhoval za moře. První dva roky strávil v juniorské lize OHL v týmu Belleville Bulls, na konci druhé sezóny už si jej na šest zápasů vytáhli Senators do NHL.

Přestože zanechal slibný dojem, strávil následující dva roky ponejvíce ve farmářském týmu, v dresu Senators nastoupil jen k dalším 21 zápasům v NHL. Střídání prvního týmu a farmy pokračovalo až do sezóny 1998-99, kdy byl Bičánek vyměněn za pořadí v 6.kole draftu, ve kterém si pak Ottawa vybrala Martina Pruska, do Chicaga. V týmu Black Hawks ale také příliš štěstí nenašel, ponejvíce plnil roli sedmého obránce.

V roce 2000 se NHL rozšiřovala o dva nové týmy, Minnesotu a Columbus a právě Blue Jackets si Bičánka vybrali z nabídky Chicaga v rozšiřovacím draftu. V první sezóně to sice znamenalo opět pouze převážně farmu v Syracuse, ale vynikající výkony ho dostaly nejen do All star týmu celé farmářské ligy AHL, ale konečně poprvé nastálo do NHL. Sezónu 2001-02 tak strávil celou v prvním týmu Columbusu a kromě pěti gólových přihrávek si připsal také premiérovou a zatím jedinou branku v NHL do sítě San Jose.

V další sezóně už Radim na své výkony nenavázal a strávil ji opět v Syracuse, později byl vyměněn opět do organizace Ottawy Senators. V týmech Ottawy, Chicaga a Columbusu sehrál v NHL celkem 122 zápasů. Patří mezi ofenzivní obránce. V sezóně 2001-02 ve farmářské AHL nasbíral v dresu Syracuse Crunch v 68 zápasech 65 bodů!

Za svůj dosavadní největší úspěch považuje to, že si s Ottawou v roce 1997 zahrál 1. kolo play-off o Stanley Cup proti Buffalu, kdy tým s Dominikem Haškem v brance zvítězil až v prodloužení sedmého zápasu.

Sezónu 2003-04 vynechal a nikde nehrál. Potom se rozhodl pro přestup do Znojma: "Spojil jsem se s panem Dočekalem a domluvili jsme se. Chtěl jsem zůstat tady na Moravě, protože jsem z Uherského Hradiště. O Znojmě jsem vždycky slyšel jenom to nejlepší a právě proto jsem sem přišel," vypráví urostlý bek.

Průmyslovku v Jihlavě nakonec nedokončil, vyučil se tam na učilišti obráběčem kovů. Jeho otec chytal 1. národní ligu ve fotbale za Olomouc. Radim je svobodný, koníčkem je pro něj jeho pes a rychlá auta.

Statistiky

Sezóna  Klub                                     Z    G    A    B   TM
-----------------------------------------------------------------------
1992-93 HC Dukla Jihlava (E)                    43    3    3    6    0
1993-94 Belleville Bulls (OHL)                  63   16   27   43   49
        Belleville Bulls (OHL, p-o)             12    2    8   10   21
1994-95 Prince Edward Island Sena (AHL, p-o)     3    0    1    1    0
        Ottawa Senators (NHL)                    6    0    0    0    0
        Belleville Bulls (OHL)                  49   13   26   39   61
        Belleville Bulls (OHL, p-o)             16    6    5   11   30
1995-96 Worcester IceCats (AHL)                 44    1   15   16   22
1996-97 Ottawa Senators (NHL)                   21    0    1    1    8
        Ottawa Senators (NHL, p-o)               7    0    0    0    8
1997-98 Detroit Vipers (IHL)                     9    1    3    4   16
        Manitoba Moose (IHL)                    42    1    7    8   52
        Ottawa Senators (NHL)                    1    0    0    0    0
1998-99 Grand-Rapids Griffins (IHL)             46    8   17   25   48
        Chicago Blackhawks (NHL)                 7    0    0    0    6
        Ottawa Senators (NHL)                    7    0    0    0    4
1999-00 Cleveland Lumberjacks (IHL)             70    5   27   32  125
        Cleveland Lumberjacks (IHL, p-o)         9    2    2    4    8
        Chicago Blackhawks (NHL)                11    0    3    3    4
2000-01 Syracuse Crunch (AHL)                   68   22   43   65  124
        Syracuse Crunch (AHL, p-o)               5    4    2    6    2
        Columbus Blue Jackets (NHL)              9    0    2    2    6
2001-02 Columbus Blue Jackets (NHL)             60    1    5    6   34
2002-03 Syracuse Crunch (AHL)                   56    6   17   23  111
        Binghamton Senators (AHL)               21    3   10   13   42
        Binghamton Senators (AHL, p-o)          14    2    4    6   26
2004-05 HC Znojemští orli (E)                   51    8   18   26  108
2005-06 HC Znojemští orli (E)                   49    6   11   17  132
        HC Znojemští orli (E, p-o)              11    0    1    1   20
2006-07 HC Znojemští orli (E)                   49   10    5   15   90
2007-08 HC Znojemští orli (E)                   45    8   10   18  109
        HC Znojemští orli (E, p-o)               3    0    0    0   27
2008-09 HC Znojemští orli (E)                   48    8    6   14  128
        HC Znojemští orli (E, out)              12    1    2    3   10
-----------------------------------------------------------------------
Celkem  Nejvyšší soutěž ČR                     311   44   56  100  524 


Reprezentace

Sezóna  Klub                                     Z    G    A    B   TM
-----------------------------------------------------------------------
1993    Česko "20"                               7    1    0    1    0
1993    Česko "18"                               6    3    1    4   10
2005-06 Česko-příprava                           3    0    0    0    0

Draftován v roce 1993 Ottawa Senators ve 2. kole jako 27 celkově.