Levoruký obránce Martin Böhm je rodákem z jihočeských Prachatic a své první hokejové krůčky udělal v nedalekém Vimperku. O pár let později se ještě přesunul do Prachatic a jako patnáctiletý se poté stal na čtyři sezony součástí organizace Liberce. V dresu Bílých Tygrů vyhrál v kategorii U16 ligu, tu sezonu měl rovněž na přední levé straně dresu „A“. V roce 2020 si pak odbyl i svůj debut mezi seniory v tehdejší Chance lize, když k pěti kláním nastoupil za Benátky nad Jizerou. Další hokejový rok strávil talentovaný bek z větší části právě v Benátkách a reprezentoval Českou republiku v kategorii U18. Ročník na to pak zamířil do Ameriky. Zde odehrál patnáct duelů za dnes už bývalý tým Winnipeg Ice v juniorské WHL, další zápasy ale v USA nepřidal a sezonu dokončil v prvoligových Litoměřicích. Stadion si jeho služby určitým způsobem do dalšího ročníku pojistil a Böhm začal působit na Spartě, se kterou Kališníci spolupracují. Zde byl jednou z nejvýraznějších postav obrany a výrazně pomohl pražskému klubu k pozdějšímu triumfu v juniorské extralize. Ve stejném roce si zahrál i za seniorský tým Pražanů, k jednomu utkání naskočil v ELH, k dalšímu v Lize mistrů a ještě čtyři přidal na prestižním Spengler Cupu, kde Sparta nakonec ve finále těsně podlehla švýcarské Ambri-Piottě. Sto osmdesát centimetrů vysoký hokejista se následně rozhodl zkusit další zahraniční angažmá, tentokrát ve Finsku, kde podepsal smlouvu s týmem Joensuun Kiekko-Pojat, jenž působí v soutěži Mestis. S celkem z druhé nejvyšší ligy došel do čtvrtfinále, další rok se však upsal opět v Česku, a to v Třebíči. U Horáků se pohyboval spíše na hraně sestavy, a proto jeho služby formou střídavých startů využili Znojemští. Böhm se stal rychle stabilním členem první obranné dvojice a dařilo se mu jak v defenzivní, tak i v ofenzivní činnosti. Od ročníku 2025/2026 pak už plnohodnotně působí jako hráč jihomoravského celku.